Camões e as permutacións con repetición

Cada vez que explico un tema de combinatoria, non me dá o corpo para tratar os casos con repetición porque, agás o problema do reconto de número de formas de cubrir unha quiniela (arranxos con repetición), non tiña de man ningún problema para abordar o seu tratamento na clase.
Agora xa non vai ser o caso grazas a un chío que soltou J. J. Rodríguez na arañeira anunciando a publicación dixital do segundo número da revista Ludus.
Entre outros artigos desta publicación fun dar con un redactado por dous profesores da Universidade de Coimbra,Carlota Simões, e Nuno Coelho O seu título é Camões, Pimenta and the improbable sonnet e estuda a transformación-creación que o poeta Alberto Pimenta realiza cun soneto de Luís de Camões.
A técnica consiste en permutar as letras de cada verso do poema de Camões

 Transforma-se o amador na cousa amada  

para construir outro completamente distinto (pero coas mesmas letras!):

Ousa a forma cantor! Mas se da namorada 

A mellor forma de entender en que consistiu a lúdica intervención de Alberto Pimenta creo que é este vídeo

Metástase I from Joana Rodrigues on Vimeo.


No artigo de Ludus pregúntanse cantas posibilidades distintas hai de construción dun novo verso mediante permutacións das letras do orixinal. Pensemos no citado primeiro verso:
Transforma-se o amador na cousa amada    pasa a ser    Ousa a forma cantor! Mas se da namorada 
....

Teremos que estudalo aos poucos. Consideremos só unha palabra do verso de Camões : cousa. Cantas ordenacións distintas podemos facer coas letras desta palabra?
Para facer un reconto podemos facer uso deste applet da plataforma e-learning do profesor J. Jesús Cendán Verdes, da UdcC

Introducindo como dato: cousa, e escollendo as 5 letras da palabra para permutar, a aplicación devólvenos as 5!=120 permutacións distintas, das que na imaxe da esquerda só aparecen unhas poucas. Explícome.

Para facer o reconto, teñamos presente que as cinco letras de cousa son distintas, polo que para a primeira posición temos 5 posibilidades de escolla. Unha vez elixida esta letra (poñamos por exemplo, que é o c), teriamos catro formas distintas de escolla da segunda letra (o, u, s, a). Supoñamos fixada a segunda letra, entón quedarían tres posibilidades de escolla para a terceira, e así sucesivamente:

Tal e como adiantamos teremos un total de
$${ P }_{ 5 }^{ }=5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$$

Se agora collemos a palabra amada e a introducimos no  applet para permutar as súas letras todos veremos que só nos aparecen estes 20 casos diferentes. Moitos menos que no exemplo anterior.
A razón, como se pode supoñer, vén de que agora hai unha letra que se repite. Tanto dá escribir
$${ a }_{ 1 }^{ }m{ a }_{ 2 }^{ }d{ a }_{ 3 }^{ }$$ como
$${ a }_{ 2 }^{ }m{ a }_{ 1 }^{ }d{ a }_{ 3 }^{ }$$
pois ao non distinguirmos os aes, os dous casos non se contabilizan como distintos. Cantos máis casos hai equivalentes aos dous anteriores? Pois os que resultan de permutar eses tres aes:
$${ P }_{ 3 }^{  }=3!=6$$
Polo que de cada 6 casos só contabilizaremos 1. Así que dos 120 dunha permutación de 5 elementos agora quedarémonos con
$$\frac { 120 }{ 6 } =20$$


En xeral a fórmula das permutacións de n elementos nas que o primeiro elemento, o segundo,...., o k-ésimo se repiten:
$${ n }_{ 1 },{ n }_{ 2 },{ n }_{ 3 }{ ....n }_{ k }{ veces }{ / }_{ }{ n }_{ 1 }{ +n }_{ 2 }{ +....+n }_{ k }=n$$
Será a seguinte:
$${ PR }_{ n }^{ { n }_{ 1 }{ n }_{ 2 }{ ... }{ n }_{ k } }=\frac { n! }{ { n }_{ 1 }!{ n }_{ 2 }!{ ... }{ n }_{ k } }$$
Sabendo que no primeiro verso o número de veces que aparece cada letra é:
$$\begin{matrix} a & 9 \\ o & 4 \\ m,r,s & 3 \\ d,t & 2 \\ t,f,c,e,u & 1 \end{matrix}$$
o reconto final de formas de ordenar esas 31 letras será:

$${ P }_{ 31 }^{ 9,4,3,3,3,2,2,1,1,1,1,1 }=\frac { 31! }{ 9!4!3!3!3!2!2! } =1_{ 4 }092.782_{ 3 }550.735_{ 2 }491.616_{ 1 }000.000$$

Xa só nos quedan outros 13 versos. E teñamos presente que por cada unha das escollas feita no primeiro verso teriamos unha composición distinta polo que para obter o número de sonetos distintos teriramo que multiplicar as cifras obtidos do reconto de cada un dos versos. O resultado final dá un número da orde do seguinte:
$$5,3\cdot { 10 }^{ 312 }$$
Nunha última reviravolta, a Alberto Pimenta sóbranlle no último verso dúas letras: L e C, que veñen sendo as iniciais que nun bucle infernal nos devolven ao autor do soneto orixinal.

Camões - Soneto 96
Transforma-se o amador na cousa amada,
Por virtude do muito imaginar;
Não tenho, logo, mais que desejar,
Pois em mi[m] tenho a parte desejada.
Se nela est· minha alma transformada,
Que mais deseja o corpo de alcançar?
Em si somente pode descansar,
Pois consigo tal alma est· liada.
Mas esta linda e pura semidéia,
Que, como o acidente em seu sujeito,
Assi[m] coa alma minha se conforma,
Est· no pensamento como idéia;
[E] o vivo e puro amor de que sou feito
Como a matéria simples busca a forma.


Alberto Pimenta [Camões por interposta pessoa]
Ousa a forma cantor! Mas se da namorada
Nua d´imagem, tido rio por vir tu
Não tens, oh joga, sem que ide
Ia e mente passem, admito, d´harpejo,
Nada, terno mar, falsamente ilhas. Amas
Desejando amor que cale cio, parcas
Rimas, e os desencantos pedem
Odi et amo, caos, sigla. Ali plantas
Setas em idÈia, ainda mel, puras,
Semente que caÌdo sujeito como eu,
A lama minha informam. Com acessos
Te penso e cato o mÌnimo. Se nada
Muda, vê que frio e pó e riso e voto ou
Ímpio amor mata o ser e busca famas.
L. C.